La Curva Brachistocrona: 18 Passi (con Immagini)

2024 Autore: John Day | [email protected]. Ultima modifica: 2024-01-30 10:01

La curva brachistocrona è un classico problema di fisica, che deriva il percorso più veloce tra due punti A e B che si trovano a quote diverse. Sebbene questo problema possa sembrare semplice, offre un risultato controintuitivo e quindi è affascinante da guardare. In questo tutorial si apprenderà il problema teorico, si svilupperà la soluzione e infine si costruirà un modello che dimostri le proprietà di questo straordinario principio della fisica.

Questo progetto è progettato per essere realizzato dagli studenti delle scuole superiori poiché trattano concetti correlati nelle lezioni di teoria. Questo progetto pratico non solo rafforza la loro comprensione dell'argomento, ma offre anche una sintesi di molti altri campi da sviluppare. Ad esempio, durante la costruzione del modello, gli studenti impareranno l'ottica attraverso la legge di Snell, la programmazione di computer, la modellazione 3D, la fratturazione digitale e le abilità di base nella lavorazione del legno. Questo permette a un'intera classe di contribuire dividendo il lavoro tra di loro, rendendolo un lavoro di squadra. Il tempo necessario per realizzare questo progetto è di circa una settimana e può essere poi dimostrato alla classe o agli studenti più giovani.

Non c'è modo migliore per imparare che attraverso lo STEM, quindi continua a creare il tuo modello brachistocrono funzionante. Se ti piace il progetto votalo nel concorso in aula.

Passaggio 1: problema teorico

Il problema della brachistocrona consiste nel trovare una curva che unisca due punti A e B che si trovano a quote diverse, in modo tale che B non sia direttamente al di sotto di A, in modo che la caduta di una biglia sotto l'influenza di un campo gravitazionale uniforme lungo questo percorso possa raggiungere B nel minor tempo possibile. Il problema fu posto da Johann Bernoulli nel 1696.

Quando Johann Bernoulli pose il problema della brachistocrona, nel giugno 1696, ai lettori di Acta Eruditorum, che fu una delle prime riviste scientifiche delle terre germanofone d'Europa, ricevette risposte da 5 matematici: Isaac Newton, Jakob Bernoulli, Gottfried Leibniz, Ehrenfried Walther von Tschirnhaus e Guillaume de l'Hôpital ciascuno con approcci unici!

Avviso: i seguenti passaggi contengono la risposta e rivelano la bellezza dietro questo percorso più veloce. Prenditi un momento per provare a pensare a questo problema, forse potresti risolverlo proprio come uno di questi cinque geni.

Passaggio 2: utilizzo della legge di Snell per dimostrare

Uno degli approcci per risolvere il problema della brachistocrona consiste nell'affrontare il problema tracciando analogie con la legge di Snell. La legge di Snell è usata per descrivere il percorso che un raggio di luce seguirebbe per andare da un punto all'altro durante la transizione attraverso due mezzi diversi, usando il principio di Fermat, secondo il quale un raggio di luce prenderà sempre il percorso più veloce. Una derivazione formale di questa equazione può essere trovata visitando il seguente link.

Poiché un oggetto in caduta libera sotto l'influenza del campo gravitazionale può essere paragonato a un raggio di luce che passa attraverso un mezzo che cambia, ogni volta che il raggio di luce incontra un nuovo mezzo, il raggio viene leggermente deviato. L'angolo di questa deviazione può essere calcolato utilizzando la legge di Snell. Man mano che si continuano ad aggiungere strati di densità riducenti davanti al raggio di luce deviato, finché il raggio raggiunge l'angolo critico, dove il raggio viene semplicemente riflesso, la traiettoria del raggio descrive la curva brachistocrona. (la curva rossa nel diagramma sopra)

La curva brachistocrona è infatti una cicloide che è la curva tracciata da un punto sul cerchione di una ruota circolare mentre la ruota rotola lungo una linea retta senza slittare. Quindi, se abbiamo bisogno di disegnare la curva, possiamo semplicemente usare il metodo sopra per generarla. Un'altra proprietà unica della curva è che una palla rilasciata da qualsiasi punto della curva impiegherà esattamente lo stesso tempo per raggiungere il fondo. I passaggi seguenti descrivono il processo di realizzazione di un esperimento in classe costruendo un modello.

Passaggio 3: modello di esperimento pratico

Il modello è costituito da percorsi tagliati al laser che fungono da binari per le biglie. Per dimostrare che la curva brachistocrona è il percorso più veloce dal punto A al punto B abbiamo deciso di confrontarlo con altri due percorsi. Poiché molte persone avrebbero intuitivamente sentito che la parte più breve è la più veloce, abbiamo deciso di inserire una pendenza dritta che collega entrambi i punti come secondo percorso. La terza è una curva ripida, poiché si sentirebbe che l'improvviso calo genererebbe una velocità sufficiente per battere il resto.

Il secondo esperimento in cui le palline vengono rilasciate da diverse altezze su tre percorsi brachistocroni, risulta con le palline che raggiungono contemporaneamente. Pertanto, il nostro modello presenta guide stampate in 3D che forniscono una facile intercambiabilità tra i pannelli acrilici consentendo di condurre entrambi gli esperimenti.

Infine, il meccanismo di rilascio assicura che le palline vengano lasciate cadere insieme e il modulo di temporizzazione in basso registra i tempi quando le palline raggiungono il fondo. Per raggiungere questo obiettivo abbiamo incorporato tre finecorsa che si attivano quando le sfere lo attivano.

Nota: si potrebbe semplicemente copiare questo disegno e realizzarlo con cartone o altri materiali facilmente disponibili

Passaggio 4: materiali necessari

Ecco le parti e le forniture per realizzare un modello funzionante dell'esperimento brachistocrona

HARDWARE:

Plancia di legno di pino da 1" - dimensioni; 100 cm per 10 cm

Magnete al neodimio 4 - dimensioni; 1 cm di diametro e 0,5 cm di altezza

Filamento di stampa 3D: PLA o ABS vanno bene

Inserto filettato M3 x 8 - (opzionale)

Bullone M3 x 8 - 2,5 cm di lunghezza

Vite per legno x 3 - 6 cm di lunghezza

Vite per legnox 12 - 2,5 cm di lunghezza

ELETTRONICA:

Arduino Uno

Finecorsax 4- questi interruttori fungeranno da sistema di cronometraggio

Premi il bottone

Display LCD

Jumpwire x molti

Il costo totale del modello è stato di circa 3 0$

Passaggio 5: stampa 3D

Diverse parti come il meccanismo di rilascio e la scatola di controllo sono state realizzate con l'aiuto di una stampante 3D. L'elenco seguente contiene il numero totale di parti e le relative specifiche di stampa. Tutti i file STL sono forniti in una cartella allegata sopra, che consente di apportare le modifiche necessarie, se necessario.

Scatola di controllo x 1, riempimento del 20%

Guida x 6, riempimento del 30%

Fine stop x 1, riempimento del 20%

Braccio girevole x 1, riempimento 20%

Supporto pivot x 1, riempimento del 30%

Rilascio pezzo x 1, 20% di riempimento

Le parti sono state stampate in PLA in quanto non ci sono particolari sollecitazioni che agiscono sui pezzi. In totale ci sono volute circa 40 ore di stampa.

Passaggio 6: taglio laser dei percorsi

I vari percorsi che abbiamo progettato su fusion 360 sono stati esportati come file.dxf e poi tagliati al laser. Abbiamo scelto acrilico bianco opaco con uno spessore di 3 mm per realizzare le curve. Si può persino realizzarlo in legno con attrezzi manuali, ma è importante assicurarsi che il materiale scelto sia rigido poiché la flessibilità potrebbe influenzare il modo in cui le palline rotolano.

6 x Curva Brachistocrona

2 x curva ripida

2 x curve diritte

Passaggio 7: tagliare il legno

La cornice del modello è in legno. Abbiamo scelto il pino da 1" per 4" perché ne avevamo alcuni residui di un progetto precedente, anche se si può usare un legno a loro scelta. Usando una sega circolare e una guida tagliamo due pezzi di legno di lunghezza:

48cm che è la lunghezza del percorso

31 cm che è l'altezza

Abbiamo ripulito i bordi ruvidi carteggiandolo leggermente sulla levigatrice a disco.

Passaggio 8: praticare i fori

Prima di avvitare i due pezzi, segnare lo spessore del legno su un'estremità del pezzo inferiore e centrare tre fori equidistanti. Abbiamo usato una punta da 5 mm per creare un foro pilota su entrambi i pezzi di legno e abbiamo svasato il foro sul pezzo inferiore per consentire alla testa della vite di essere guidata a filo.

Nota: fare attenzione a non dividere il pezzo di legno verticale poiché si forerà nella venatura finale. Utilizzare anche viti da legno lunghe poiché è importante che il telaio non si muova e la parte superiore a causa della leva.

Passaggio 9: incorporare i dissipatori di calore e i magneti

Poiché i fili nelle parti stampate in 3D tendono a consumarsi nel tempo, abbiamo deciso di incorporare i dissipatori di calore. I fori sono leggermente sottodimensionati per permettere al dissipatore di aderire meglio alla plastica. Abbiamo posizionato i dissipatori di calore M3 sui fori e li abbiamo inseriti con la punta di un saldatore. Il calore scioglie la plastica, lasciando che i denti si incastrino. Assicurati che siano a filo con la superficie e che siano entrati perpendicolarmente. In totale ci sono 8 punti per gli inserti filettati: 4 per il coperchio e 4 per montare l'Arduino Uno.

Per facilitare il montaggio dell'unità di temporizzazione, abbiamo incorporato dei magneti nella scatola, rendendolo facile da staccare se sono necessarie modifiche. I magneti devono orientarsi nella stessa direzione prima di essere spinti in posizione.s

Passaggio 10: collegamento dei finecorsa

I tre finecorsa sono fissati su un lato dell'unità di temporizzazione rivolto verso il fondo dei percorsi. Pertanto, quando le palline fanno clic sugli interruttori, è possibile determinare quale palla ha raggiunto per prima e visualizzare i tempi su un display LCD. Saldare piccole strisce di filo ai terminali e fissarli nelle fessure con una piccola quantità di colla CA in quanto non dovrebbero allentarsi dopo colpi continui.

Passaggio 11: display LCD

Il coperchio dell'unità di cronometraggio ha un ritaglio rettangolare per lo schermo lcd e un foro per il pulsante "start". Abbiamo fissato il display con gocce di colla a caldo finché non è stato a filo con la superficie del coperchio e fissato il pulsante rosso con il suo dado di montaggio.

Passaggio 12: cablaggio dell'elettronica

Il cablaggio consiste nel collegare i vari componenti nei pin giusti dell'Arduino. Seguire lo schema elettrico allegato sopra per configurare la scatola.

Passaggio 13: caricamento del codice

Il codice Arduino per il progetto brachistochrone si trova in allegato di seguito. Ci sono due aperture nel vano dell'elettronica per un facile accesso alla porta di programmazione di Arduino e per il jack di alimentazione.

Il pulsante rosso attaccato sulla parte superiore della scatola viene utilizzato per avviare il timer. Una volta che le biglie rotolano lungo le curve e attivano i finecorsa, che sono posti in basso, i tempi vengono registrati in sequenza. Dopo che tutte e tre le palline sono state colpite, lo schermo LCD mostra i risultati, allineati con le rispettive curve (immagini allegate sopra). Una volta annotati i risultati nel caso sia necessaria una seconda lettura, è sufficiente premere nuovamente il pulsante principale per aggiornare il timer e ripetere lo stesso processo.

Passaggio 14: le guide alla stampa 3D

Le guide stampate in 3D avevano una base di materiale da 3 mm prima che iniziassero le pareti di supporto. Pertanto, quando i pannelli acrilici sarebbero stati fatti scorrere in posizione, ci sarebbe stato uno spazio tra il pannello e il telaio in legno, diminuendo la stabilità del percorso.

Pertanto la guida doveva essere incorporata di 3 mm nel legno. Poiché non avevamo un router, l'abbiamo portato in un'officina locale e l'abbiamo fatto su una fresatrice. Dopo un po' di carteggiatura, le stampe si sono adattate perfettamente e abbiamo potuto fissarle lateralmente con viti per legno. Sopra è allegato un modello per il posizionamento delle 6 guide sul telaio in legno.

Passaggio 15: aggiunta dello stopper e dell'unità di temporizzazione

Poiché il modulo di cronometraggio era un sistema separato, abbiamo deciso di realizzare un sistema di montaggio e smontaggio rapido utilizzando i magneti. In questo modo si può facilmente programmare semplicemente estraendo l'unità. Invece di fare una sagoma per trasferire la posizione dei magneti che devono essere incastonati nel legno, li lasciamo semplicemente collegare a quelli sulla scatola e poi mettiamo un po' di colla e appoggiamo la scatola sul pezzo di legno. I segni della colla si sono trasferiti sul legno permettendoci di praticare rapidamente i fori nei punti precisi. Infine attacca il fermo stampato in 3D e l'unità di temporizzazione dovrebbe adattarsi perfettamente ma essere in grado di staccarsi con una leggera trazione

Passaggio 16: il meccanismo di rilascio

Il meccanismo di rilascio è semplice. Usa un dado e un bullone per collegare saldamente la sezione a C al braccio del perno, rendendoli un pezzo sicuro. Quindi praticare due fori nel mezzo del legno verticale e fissare il supporto. Infilare un albero girevole e il meccanismo è completo.

Passaggio 17: l'esperimento

Ora che il modello è pronto si possono fare i seguenti esperimenti

Esperimento 1

Infilare con cautela i pannelli acrilici del percorso rettilineo, della curva brachistocrona e del percorso ripido (in quest'ordine per l'effetto migliore). Quindi tirare verso l'alto il fermo e posizionare le tre palline nella parte superiore della curva assicurandosi che siano perfettamente allineate tra loro. Tienili saldamente in posizione con il fermo abbassato. Fai in modo che uno studente rilasci le palline e un altro prema il pulsante rosso per avviare il sistema di cronometraggio. Infine osserva le palline rotolare lungo il percorso e analizza i risultati visualizzati sul modulo di cronometraggio. Impostare una telecamera per registrare filmati al rallentatore è ancora più emozionante in quanto si può vedere la gara fotogramma per fotogramma.

Esperimento 2

Come il precedente esperimento scivola nei pannelli acrilici ma questa volta tutti i percorsi devono essere la curva brachistocrona. Chiedi con attenzione a uno studente di tenere le tre palline a diverse altezze questa volta e di premere il pulsante rosso mentre le palline vengono rilasciate. Guarda il momento sorprendente in cui le palline si allineano perfettamente prima del traguardo e conferma le osservazioni con i risultati.

Passaggio 18: Conclusione

La realizzazione del modello brachistocrona è un modo pratico per vedere i modi magici in cui funziona la scienza. Non solo gli esperimenti sono divertenti da guardare e coinvolgenti, ma offrono anche una sintesi degli aspetti di apprendimento. Sebbene sia principalmente un progetto pensato per gli studenti delle scuole superiori, sia dal punto di vista pratico che teorico, questa dimostrazione può essere facilmente compresa dai bambini più piccoli e potrebbe essere mostrata come una presentazione semplificata.

Vorremmo incoraggiare le persone a fare le cose, che si tratti di un successo o di un fallimento, perché alla fine della giornata lo STEM è sempre divertente! Felice realizzazione!

Lascia un voto nel concorso in classe se ti sono piaciuti gli istruttori e lascia il tuo feedback nella sezione dei commenti.

Gran Premio al Concorso di Scienze in aula