Gaussiana e parabola per studiare i flussi luminosi a LED di una lampada sperimentale: 6 passaggi

2024 Autore: John Day | [email protected]. Ultima modifica: 2024-01-30 10:00

Ciao a tutti i creatori e alla vivace comunità di Instructable.

Questa volta Merenel Research ti porterà un problema di pura ricerca e un modo per risolverlo con la matematica.

Ho avuto io stesso questo problema mentre calcolavo i flussi LED di una lampada LED RGB che ho costruito (e che insegnerò a costruire). Dopo aver cercato a lungo online non ho trovato una risposta, quindi qui inserisco la soluzione.

IL PROBLEMA

Molto spesso in fisica abbiamo a che fare con curve che hanno la forma della distribuzione gaussiana. Sì! È la curva a campana usata per calcolare la probabilità e ci è stata portata dal grande matematico Gauss.

La curva di Gauss è ampiamente utilizzata nelle applicazioni fisiche della vita reale, soprattutto quando abbiamo a che fare con radiazioni propagate da una sorgente o ricevute da un ricevitore, ad esempio:

- l'emissione della potenza di un segnale radio (es. Wi-Fi);

- il flusso luminoso emesso da un LED;

- la lettura di un fotodiodo.

Nella scheda tecnica del produttore ci viene spesso riportato il valore effettivo dell'area della gaussiana, che sarebbe la potenza radiante totale o il flusso luminoso in una certa porzione di spettro (es. di un LED), ma diventa difficile calcolare la radiazione effettiva emessa al culmine della curva o ancora più difficile conoscere la radiazione sovrapposta di due sorgenti vicine, ad esempio se stiamo illuminando con più di un LED (es. Blu e Verde).

In questo articolo Instructable ti spiegherò come approssimare la gaussiana con una curva molto più facile da capire: una parabola. Risponderò alla domanda: quante curve gaussiane ci sono in una parabola?

SPOILER → LA RISPOSTA È:

L'area gaussiana è sempre 1 unità.

L'area della corrispondente parabola con la stessa base e altezza è 2,13 volte maggiore della relativa area gaussiana (vedi l'immagine per la dimostrazione grafica).

Quindi una gaussiana è il 46,94% della sua parabola e questa relazione è sempre vera.

Questi due numeri sono correlati in questo modo 0.46948=1/2.13, questa è la stretta relazione matematica tra una curva gaussiana e la sua parabola e viceversa.

In questa guida ti guiderò alla scoperta di questo passo dopo passo.

L'unico strumento di cui avremo bisogno è Geogebra.org, un ottimo strumento matematico online per disegnare grafici.

Il grafico Geogebra che ho realizzato per confrontare una parabola con una gaussiana può essere trovato a questo link.

Questa istruzione è lunga perché riguarda una dimostrazione, ma se devi risolvere rapidamente lo stesso problema che ho avuto con i flussi luminosi a LED o un altro fenomeno con curve gaussiane sovrapposte, ti preghiamo di saltare al foglio di calcolo che troverai allegato al passaggio 5 di questa guida, che ti semplificherà la vita e ti farà automaticamente tutti i calcoli.

Spero che ti piaccia la matematica applicata perché questo istruibile parla di questo.

Passaggio 1: comprensione della luce emessa da un LED monocromatico

In questa analisi prenderò in considerazione una serie di LED colorati, come si vede chiaramente dal loro grafico dello spettro (prima foto) la loro distribuzione di potenza spettrale sembra davvero una gaussiana che converge nell'asse x a -33 e +33 nm della media (produttori di solito fornisce questa specifica). Tuttavia, considera che la rappresentazione di questo grafico normalizza tutti gli spettri su una singola unità di alimentazione, ma i LED hanno una potenza diversa a seconda dell'efficienza con cui vengono fabbricati e della quantità di corrente elettrica (mA) che li immetti.

Come puoi vedere a volte il flusso luminoso di due LED si sovrappone sullo spettro. Diciamo che voglio calcolare facilmente l'area di sovrapposizione di quelle curve, perché in quell'area ci sarà il doppio di potenza e voglio sapere quanta potenza in tem di lumen (lm) abbiamo lì, beh non è un compito facile a cui cercheremo di rispondere in questa guida. Il problema è sorto perché quando stavo costruendo la lampada sperimentale volevo davvero sapere quanto lo spettro Blu e Verde si sovrapponessero.

Ci concentreremo solo sui LED monocromatici che sono quelli che emettono in una porzione ristretta dello spettro. Nello schema: BLU REALE, BLU, VERDE, ARANCIO-ROSSO, ROSSO. (La lampada che realizzo è RGB)

BACKGROUND DI FISICA

Riavvolgiamo un po' e all'inizio facciamo un po' di spiegazione fisica.

Ogni LED ha un colore, o più scientificamente diremmo che ha una lunghezza d'onda (λ) che lo determina e che si misura in nanometri (nm) e λ=1/f, dove f è la frequenza di oscillazione del fotone.

Quindi quello che chiamiamo ROSSO è fondamentalmente un (grande) gruppo di fotoni che oscillano a 630 nm, quei fotoni colpiscono la materia e rimbalzano nei nostri occhi, che agiscono come recettori, e quindi il tuo cervello elabora il colore dell'oggetto come ROSSO; oppure i fotoni potrebbero andare direttamente nei tuoi occhi e vedresti il LED che li emette risplendere di colore ROSSO.

Si è scoperto che ciò che chiamiamo luce è in realtà solo una piccola porzione dello spettro elettromagnetico, tra 380 nm e 740 nm; quindi la luce è un'onda elettromagnetica. Ciò che è curioso di quella porzione dello spettro è che è proprio la parte dello spettro che passa più facilmente attraverso l'acqua. Indovina un po? I nostri antichi antenati della Zuppa Primordiale erano effettivamente nell'acqua, ed è nell'acqua che i primi, più complessi, esseri viventi hanno iniziato a sviluppare gli occhi. Ti consiglio di guardare il video di Kurzgesagt che ho allegato per capire meglio cos'è la luce.

In sintesi un LED emette luce, che è una certa quantità di potenza radiometrica (mW) ad una certa lunghezza d'onda (nm).

Solitamente quando si tratta di luce visibile non si parla di potenza radiometrica (mW) ma di flusso luminoso (lm), che è un'unità di misura pesata alla risposta alla luce visibile degli occhi umani, deriva dalla unità di misura candela, e si misura in lumen (lm). In questa presentazione considereremo i lumen emessi dai LED, ma tutto si applicherà ai mW esattamente nella stessa misura.

In qualsiasi scheda tecnica LED il produttore ti fornirà queste informazioni:

Ad esempio da questo datasheet allegato si vede che se si alimentano entrambi i led con 100mA si ha che:

BLU è a 480nm e ha 11lm di flusso luminoso;

VERDE è a 530 nm e ha 35 lm di flusso luminoso.

Ciò significa che la Curva Gaussiana del Blu sarà più alta, si alzerà di più, senza modificare la sua larghezza e oscillerà attorno alla porzione delimitata dalla linea blu. In questo lavoro spiegherò come calcolare l'altezza della Gaussiana che esprime tutta la potenza di picco emessa dal LED, non solo la potenza emessa in quella porzione di spettro, purtroppo quel valore sarà inferiore. Inoltre cercherò di approssimare la parte di sovrapposizione dei due LED per capire quanto flusso luminoso si sovrappone quando abbiamo a che fare con LED "vicini" nello spettro.

Misurare il flusso dei LED è una questione molto complessa, se sei curioso di saperne di più ho caricato un documento dettagliato di Osram che spiega come si fanno le cose.

Fase 2: Introduzione alla Parabola

Non entrerò in molti dettagli su cosa sia una parabola poiché è ampiamente studiata a scuola.

L'equazione di una parabola può essere scritta nella forma seguente:

y=ax^2+bx+c

ARCHIMEDE CI AIUTA

Quello che vorrei sottolineare è un importante teorema geometrico di Archimede. Quello che dice il teorema è che l'area di una parabola limitata in un rettangolo è uguale ai 2/3 dell'area del rettangolo. Nella prima immagine con la parabola puoi vedere che l'area blu è 2/3 e le aree rosa sono 1/3 dell'area del rettangolo.

Possiamo calcolare la parabola e la sua equazione conoscendo tre punti della parabola. Nel nostro caso calcoleremo il vertice e conosciamo le intersezioni con l'asse x. Ad esempio:

LED BLU Vertex(480, ?) la Y del vertice è uguale alla potenza luminosa emessa alla lunghezza d'onda di picco. Per calcolarlo utilizzeremo la relazione che esiste tra l'area di una gaussiana (flusso effettivo emesso dal LED) e quella di una parabola e utilizzeremo il teorema di Archimede per conoscere l'altezza del rettangolo che contiene quella parabola.

x1(447, 0)

x2(513, 0)

MODELLO PARABOLICO

Guardando l'immagine che ho caricato si può vedere un modello complesso per rappresentare con parabole diversi flussi luminosi LED diversi, ma sappiamo che la loro rappresentazione non è esattamente così in quanto assomiglia più ad una gaussiana.

Tuttavia, con le parabole, utilizzando formule matematiche possiamo trovare tutti i punti di intersezione di più parabole e calcolare le aree di intersezione.

Al punto 5 ho allegato un foglio di calcolo in cui ho inserito tutte le formule per calcolare tutte le parabole e le loro aree di intersezione dei led monocromatici.

Solitamente la base della Gaussiana di un LED è grande 66nm, quindi se conosciamo la lunghezza d'onda dominante e approssimiamo la radiazione del LED con una parabola sappiamo che la relativa parabola intersecherà l'asse x in λ+33 e λ-33.

Questo è un modello che approssima una luce totale emessa a LED con parabola. Ma sappiamo che se vogliamo essere precisi non è esattamente giusto, dovremmo usare una curva di Gauss, che ci porta al passaggio successivo.

Passaggio 3: Introduzione alla curva gaussiana

Una gaussiana è una curva che suonerà più complessa di una parabola. È stato inventato da Gauss per interpretare gli errori. Infatti questa curva è molto utile per vedere la distribuzione probabilistica di un fenomeno. Per quanto ci muoviamo verso sinistra o verso destra dalla media abbiamo un certo fenomeno meno frequente e come puoi vedere dall'ultima immagine questa curva è un'ottima approssimazione degli eventi della vita reale.

La formula gaussiana è quella spaventosa che vedi come seconda immagine.

Le proprietà gaussiane sono:

- è simmetrica rispetto alla media;

- x = μ coincide non solo con la media aritmetica ma anche con la mediana e la moda;

- è asintotico sull'asse x su ogni lato;

- diminuisce per xμ;

- ha due punti di flesso in x = μ-σ;

- l'area sotto la curva è 1 unità (è la probabilità che qualsiasi x si verifichi)

è la deviazione standard, maggiore è il numero più ampia è la base gaussiana (prima immagine). Se un valore è nella porzione 3σ sapremmo che si allontana davvero dalla media e c'è meno probabilità che accada.

Nel nostro caso, con i LED, conosciamo l'area della gaussiana che è il flusso luminoso riportato nella scheda tecnica del produttore a un dato picco di lunghezza d'onda (che è la media).

Passaggio 4: dimostrazione con Geogebra

In questa sezione ti spiegherò come usare Geogebra per dimostrare che una parabola è 2,19 volte la sua gaussiana.

Per prima cosa devi creare un paio di variabili, cliccando sul comando slider:

La deviazione standard σ=0.1 (la deviazione standard definisce quanto è ampia la curva di Gauss, ho messo un valore piccolo perché volevo renderlo stretto per simulare una distribuzione di potenza spettrale a LED)

La media è 0 quindi la gaussiana è costruita sull'asse y, dove è più facile lavorare.

Fare clic sulla funzione onda piccola per attivare la sezione delle funzioni; lì cliccando su fx puoi inserire la formula gaussiana e vedrai spuntare sullo schermo una bella curva gaussiana alta.

Graficamente vedrai dove la curva converge sull'asse x, nel mio caso in X1(-0.4;0) e X2(+0.4;0) e dove il vertice è in V(0;4).

Con questi tre punti hai abbastanza informazioni per trovare l'equazione della parabola. Se non vuoi fare calcoli a mano, sentiti libero di usare questo sito web o il foglio di calcolo nel passaggio successivo.

Usa il comando funzione (fx) per compilare la funzione parabola che hai appena trovato:

y=-25x^2 +4

Ora dobbiamo capire quante gaussiane ci sono in una parabola.

Dovrai usare la funzione comando e inserire il comando Integrale (o Integrale nel mio caso, dato che stavo usando la versione italiana). L'integrale definito è l'operazione matematica che permette di calcolare l'area di una funzione definita tra x valori. Se non ricordi cos'è un integrale definito, leggi qui.

a=Integrale(f, -0.4, +0.4)

Questa formula di Geogebra risolverà l'integrale definito tra -0.4 e +0.4 della funzione f, la Gaussiana. Trattandosi di una gaussiana la sua area è 1.

Fai lo stesso per la parabola e scoprirai il numero magico 2.13. Qual è il numero chiave per fare tutte le conversioni del flusso luminoso con i LED.

Passaggio 5: esempio di vita reale con LED: calcolo del picco di flusso e dei flussi sovrapposti

FLUSSO LUMINOSO AL PICCO

Calcolare l'altezza effettiva delle curve gaussiane agitate della distribuzione del flusso LED, ora che abbiamo scoperto il fattore di conversione 2,19, è molto semplice.

per esempio:

Il LED BLU ha 11lm di flusso luminoso

- convertiamo questo flusso da gaussiano a parabolico 11 x 2.19 = 24.09

- utilizziamo il Teorema di Archimede per calcolare l'area relativa del rettangolo che contiene la parabola 24,09 x 3/2 = 36,14

- troviamo l'altezza di quel rettangolo che divide per la base della Gaussiana per il LED BLU, data nel datasheet o vista sul datasheet chart, solitamente intorno a 66nm, e cioè la nostra potenza al picco di 480nm: 36.14 / 66= 0,55

AREE DI FLUSSO LUMINOSO SOVRAPPOSTE

Per calcolare due radiazioni sovrapposte spiegherò con un esempio con i seguenti due LED:

BLU è a 480 nm e ha 11 lm di flusso luminoso VERDE è a 530 nm e ha 35 lm di flusso luminoso

Sappiamo e vediamo dal grafico che entrambe le curve gaussiane convergono in -33nm e +33nm, di conseguenza sappiamo che:

- BLU interseca l'asse x in 447nm e 531nm

- VERDE interseca l'asse x in 497nm e 563nm

Si vede chiaramente che le due curve si intersecano in quanto un'estremità della prima è dopo l'inizio dell'altra (531nm>497nm) quindi la luce di questi due LED si sovrappone in alcuni punti.

Per prima cosa dobbiamo calcolare l'equazione della parabola per entrambi. Il foglio di calcolo allegato è lì per aiutarti con i calcoli e ha incorporato le formule per risolvere il sistema di equazioni per determinare le due parabole conoscendo i punti di intersezione dell'asse x e il vertice:

Parabola BLU: y = -0,0004889636025x^2 + 0,4694050584x -112.1247327

Parabola VERDE: y = -0,001555793281x^2 + 1.680256743x - 451.9750618

in entrambi i casi a>0 e quindi la parabola è correttamente rivolta a testa in giù.

Per dimostrare che queste parabole sono corrette, inserisci a, b, c nel calcolatore di vertici in questo sito web di calcolatore di parabole.

Sul foglio di calcolo sono già stati fatti tutti i calcoli per trovare i punti di intersezione tra le parabole e per calcolare l'integrale definito per ottenere le aree di intersezione di tali parabole.

Nel nostro caso le aree di intersezione degli spettri LED blu e verdi sono 0,4247.

Una volta che abbiamo le parabole che si intersecano, possiamo moltiplicare questa area di intersezione appena fondata per il moltiplicatore gaussiano 0.4694 e trovare un'approssimazione molto vicina di quanta potenza i LED emettono insieme in totale in quella sezione dello spettro. Per trovare il singolo flusso LED emesso in quella sezione basta dividere per 2.

Step 6: Lo studio dei LED monocromatici della lampada sperimentale è ora completo

Bene, grazie mille per aver letto questa ricerca. Spero ti sia utile per capire a fondo come viene emessa la luce da una lampada.

Stavo studiando i flussi dei led di una lampada speciale realizzata con tre tipologie di led monocromatici.

Gli "ingredienti" per realizzare questa lampada sono:

- 3 LED BLU

- 4 LED VERDI

- 3 LED ROSSI

- 3 resistori per limitare la corrente nei rami del circuito LED

- Alimentazione 12V 35W

- Copertura in acrilico goffrato

- Controllo OSRAM OT BLE DIM (unità di controllo LED Bluetooth)

- Dissipatore in alluminio

- Grassetti M5 e dadi e staffe a L

Controlla tutto con l'APP Casambi dal tuo smartphone, puoi accendere e regolare separatamente ogni canale LED.

Costruire la lampada è molto semplice:

- attaccare il LED al dissipatore con nastro biadesivo;

- saldare tutti i LED BLU in serie con una resistenza, e fare lo stesso con l'altro colore per ogni ramo del circuito. In base ai led che sceglierai (io ho usato Lumileds LED) dovrai scegliere la dimensione del resistore in relazione a quanta corrente alimenterai nel led e alla tensione totale data dall'alimentatore di 12V. Se non sai come fare, ti suggerisco di leggere questo fantastico tutorial su come determinare la dimensione di un resistore per limitare la corrente di una serie di LED.

- collegare i fili ad ogni canale dell'Osram OT BLE: tutti i principali positivi dei rami dei led vanno al comune (+) e i tre negativi dei rami vanno rispettivamente a -B (blu) -G (verde) -R (rosso).

- Collegare l'alimentazione all'ingresso dell'Osram OT BLE.

Ora la cosa bella di Osram OT BLE è che puoi creare scenari e programmare i canali LED, come puoi vedere nella prima parte del video sto attenuando i tre canali e nella seconda parte del video sto usando alcuni scenari luminosi precostituiti.

CONCLUSIONI

Ho usato ampiamente la matematica per capire a fondo come si sarebbero propagati i flussi di queste lampade.

Spero davvero che tu abbia imparato qualcosa di utile oggi e farò del mio meglio per portare a istruire più casi di profonda ricerca applicata come questo.

La ricerca è la chiave!

Così lungo!

Pietro