Pendolo invertito: teoria e dinamica del controllo: 17 passaggi (con immagini)

2024 Autore: John Day | [email protected]. Ultima modifica: 2024-01-30 10:02

Il pendolo invertito è un classico problema della dinamica e della teoria del controllo che viene generalmente elaborato nei corsi di fisica o matematica delle scuole superiori e universitarie. Essendo io stesso un appassionato di matematica e scienze, ho deciso di provare e implementare i concetti che ho imparato durante le mie lezioni per costruire un pendolo invertito. L'applicazione di tali concetti nella vita reale non solo aiuta a rafforzare la tua comprensione dei concetti, ma ti espone anche a una dimensione completamente nuova di problemi e sfide che riguardano la praticità e le situazioni della vita reale che non si possono mai incontrare nelle lezioni di teoria.

In questo tutorial, introdurrò prima il problema del pendolo invertito, quindi tratterò l'aspetto teorico del problema e poi discuterò l'hardware e il software necessari per dare vita a questo concetto.

Ti suggerisco di guardare il video allegato sopra mentre leggi le istruzioni che ti daranno una migliore comprensione.

E infine, non dimenticare di lasciare un voto nel "Concorso di scienze in classe" se ti è piaciuto questo progetto e sentiti libero di lasciare qualsiasi domanda nella sezione commenti qui sotto. Felice realizzazione!:)

Passaggio 1: il problema

Il problema del pendolo invertito è analogo all'equilibrio di una scopa o di un lungo palo sul palmo della mano, che è qualcosa che molti di noi hanno provato da bambini. Quando i nostri occhi vedono il palo cadere da un certo lato, inviano queste informazioni al cervello che esegue determinati calcoli e quindi istruisce il tuo braccio a spostarsi in una certa posizione con una certa velocità per contrastare il movimento del palo, che si spera porterebbe il ribaltamento del palo di nuovo in verticale. Questo processo viene ripetuto diverse centinaia di volte al secondo, il che mantiene il palo completamente sotto il tuo controllo. Il pendolo invertito funziona in modo simile. Lo scopo è quello di bilanciare un pendolo capovolto su un carrello che può muoversi. Al posto degli occhi, viene utilizzato un sensore per rilevare la posizione del pendolo che invia le informazioni a un computer che esegue determinati calcoli e istruisce gli attuatori a spostare il carrello in modo da rendere nuovamente verticale il pendolo.

Passaggio 2: la soluzione

Questo problema di bilanciare un pendolo capovolto richiede una comprensione dei movimenti e delle forze che sono in gioco in questo sistema. Alla fine, questa intuizione ci permetterà di elaborare "equazioni del moto" del sistema che possono essere utilizzate per calcolare le relazioni tra l'uscita che va agli attuatori e gli ingressi provenienti dai sensori.

Le equazioni del moto possono essere derivate in due modi a seconda del tuo livello. Possono essere derivati utilizzando le leggi fondamentali di Newton e alcuni matematici di livello liceale o utilizzando la meccanica lagrangiana che viene generalmente introdotta nei corsi di fisica universitari. (Nota: derivare le equazioni del moto usando le leggi di Newton è semplice ma noioso mentre usare la meccanica lagrangiana è molto più elegante ma richiede la comprensione della meccanica lagrangiana sebbene entrambi gli approcci alla fine portino alla stessa soluzione).

Entrambi gli approcci e le loro derivazioni formali sono generalmente trattati nelle lezioni di matematica o fisica delle scuole superiori o universitarie, sebbene possano essere facilmente trovati utilizzando una semplice ricerca su Google o visitando questo link. Osservando le equazioni finali del moto notiamo una relazione tra quattro grandezze:

• L'angolo del pendolo rispetto alla verticale
• La velocità angolare del pendolo
• L'accelerazione angolare del pendolo
• L'accelerazione lineare del carrello

Dove le prime tre sono grandezze che verranno misurate dal sensore e l'ultima grandezza verrà inviata all'attuatore per l'esecuzione.

Passaggio 3: teoria del controllo

La teoria del controllo è un sottocampo della matematica che si occupa del controllo e del funzionamento di sistemi dinamici in processi e macchine ingegnerizzati. L'obiettivo è sviluppare un modello di controllo o un ciclo di controllo per ottenere generalmente la stabilità. Nel nostro caso, bilancia il pendolo capovolto.

Esistono due tipi principali di circuiti di controllo: controllo ad anello aperto e controllo ad anello chiuso. Quando si implementa un controllo ad anello aperto, l'azione di controllo o il comando dal controller è indipendente dall'uscita del sistema. Un buon esempio di ciò è una fornace, in cui la quantità di tempo in cui la fornace rimane accesa dipende esclusivamente dal timer.

Mentre in un sistema ad anello chiuso, il comando del controller dipende dal feedback dello stato del sistema. Nel nostro caso la retroazione è l'angolo del pendolo rispetto alla normale che determina la velocità e la posizione del carrello, rendendo quindi questo sistema un sistema ad anello chiuso. In allegato sopra è una rappresentazione visiva sotto forma di diagramma a blocchi di un sistema a circuito chiuso.

Esistono diverse tecniche di meccanismo di feedback, ma una delle più utilizzate è il controllore proporzionale-integrale-derivato (controllore PID), che è quello che utilizzeremo.

Nota: comprendere il funzionamento di tali controller è molto utile per sviluppare un controller di successo, anche se spiegare le operazioni di un controller di questo tipo va oltre lo scopo di questa istruzione. Nel caso in cui non ti sei imbattuto in questi tipi di controller nel tuo corso, ci sono un sacco di materiale online e una semplice ricerca su Google o un corso online ti aiuterà.

Passaggio 4: implementare questo progetto nella tua classe

Fascia d'età: questo progetto è principalmente per studenti delle scuole superiori o universitari, ma potrebbe anche essere presentato ai bambini più piccoli semplicemente come dimostrazione fornendo una panoramica dei concetti.

Concetti trattati: I concetti principali trattati in questo progetto sono la dinamica e la teoria del controllo.

Tempo richiesto: una volta raccolte e fabbricate tutte le parti, l'assemblaggio richiede dai 10 ai 15 minuti. La creazione del modello di controllo richiede un po' più di tempo, per questo gli studenti possono avere da 2 a 3 giorni. Una volta che ogni singolo studente (o gruppi di studenti) ha sviluppato i rispettivi modelli di controllo, un altro giorno può essere utilizzato per le dimostrazioni individuali o dei team.

Un modo per implementare questo progetto nella tua classe sarebbe quello di costruire il sistema (descritto nei passaggi seguenti), mentre il batch sta lavorando sui sottoargomenti della fisica relativi alla dinamica o mentre sta studiando i sistemi di controllo nelle classi di matematica. In questo modo, le idee e i concetti che incontrano durante le lezioni possono essere implementati direttamente in un'applicazione del mondo reale, rendendo i loro concetti molto più chiari perché non c'è modo migliore per imparare un nuovo concetto che implementarlo nella vita reale.

Un singolo sistema può essere costruito, insieme come una classe e quindi la classe può essere divisa in squadre, ognuna delle quali costruisce un modello di controllo da zero. Ogni squadra può quindi dimostrare il proprio lavoro in un formato di competizione, in cui il miglior modello di controllo è quello in grado di bilanciare il più lungo e resistere a spinte e spinte in modo robusto.

Un altro modo per implementare questo progetto nella tua classe sarebbe quello di fare in modo che i bambini più grandi (livello di scuola superiore o giù di lì), sviluppi questo progetto e lo mostri ai bambini più piccoli dando loro una panoramica delle dinamiche e dei controlli. Questo potrebbe non solo suscitare interesse per la fisica e la matematica per i bambini più piccoli, ma aiuterà anche gli studenti più grandi a cristallizzare i loro concetti della teoria perché uno dei modi migliori per rafforzare i tuoi concetti è spiegarlo agli altri, specialmente ai bambini più piccoli come richiesto di formulare le tue idee in modo molto semplice e chiaro.

Passaggio 5: parti e materiali di consumo

Il carrello potrà muoversi liberamente su una serie di binari dandogli un unico grado di libertà. Ecco le parti e le forniture necessarie per realizzare il pendolo e il sistema di carrelli e binari:

Elettronica:

• Una scheda compatibile con Arduino, qualsiasi funzionerà. Consiglio uno Uno nel caso in cui non si abbia molta esperienza con l'elettronica perché sarà più semplice seguirlo.
• Un motore passo-passo Nema17, che fungerà da attuatore per il carrello.
• Un driver per motore passo-passo, ancora una volta tutto funzionerà, ma consiglio il driver per motore passo-passo A4988 perché sarà più semplice da seguire.
• Un MPU-6050 Six-Axis (Gyro + Accelerometer), che rileverà i vari parametri come l'angolo e la velocità angolare del pendolo.
• Un alimentatore da 12 V 10 A, 10 A è in realtà un po' eccessivo per questo progetto specifico, qualsiasi cosa al di sopra di 3 A funzionerà, ma avere la possibilità di assorbire corrente extra consente lo sviluppo futuro in cui potrebbe essere necessaria più potenza.

Hardware:

• 16 x cuscinetti, ho usato cuscinetti per skateboard e hanno funzionato alla grande
• 2 pulegge e cinghia GT2
• Circa 2,4 metri di tubo in PVC da 1,5 pollici
• Mazzo di dadi e bulloni da 4 mm

Alcune delle parti utilizzate in questo progetto sono state anche stampate in 3D, quindi disporre di una stampante 3D sarà molto utile, sebbene siano comunemente disponibili strutture di stampa 3D locali o online.

Il costo totale di tutte le parti è di poco meno di 50$ (esclusa la stampante 3D)

Passaggio 6: parti stampate in 3D

Alcune parti del carrello e del sistema di binari dovevano essere realizzate su misura, quindi ho utilizzato Fusion360 gratuito di Autodesk per modellare i file CAD e stamparli in 3D su una stampante 3D.

Alcune delle parti che erano puramente forme 2D, come il pendolo e il letto a cavalletto, sono state tagliate al laser poiché era molto più veloce. Tutti i file STL sono allegati di seguito nella cartella compressa. Ecco un elenco completo di tutte le parti:

• 2 x rullo a portale
• 4 x tappi terminali
• 1 x staffa passo-passo
• 2 x supporto per cuscinetto puleggia folle
• 1 x supporto per pendolo
• 2 x attacco per cintura
• 1 x supporto del cuscinetto del pendolo (a)
• 1 x supporto per cuscinetti a pendolo (b)
• 1 x distanziatore del foro della puleggia
• 4 x distanziali per fori per cuscinetti
• 1 x piastra a portale
• 1 x piastra di supporto per stepper
• 1 x piastra porta puleggia folle
• 1 x pendolo (a)
• 1 x pendolo (b)

In totale ci sono 24 parti, che non richiedono molto tempo per la stampa poiché le parti sono piccole e possono essere stampate insieme. Nel corso di questo istruibile, farò riferimento alle parti basate sui nomi in questo elenco.

Passaggio 7: assemblaggio dei rulli del cavalletto

I rulli del cavalletto sono come le ruote del carrello. Questi rotoleranno lungo il binario in PVC che consentirà al carrello di muoversi agevolmente con il minimo attrito. Per questo passaggio, prendi i due rulli del cavalletto stampati in 3D, 12 cuscinetti e un mucchio di dadi e bulloni. Avrai bisogno di 6 cuscinetti per rullo. Fissare i cuscinetti al rullo utilizzando i dadi e i bulloni (usare le immagini come riferimento). Una volta che ogni rullo è stato realizzato, farli scorrere sul tubo in PVC.

Passaggio 8: assemblaggio del sistema di azionamento (motore passo-passo)

Il carrello sarà guidato da un motore passo-passo Nema17 standard. Fissare il motore nella staffa dello stepper utilizzando le viti che dovrebbero essere fornite insieme allo stepper. Quindi avvitare la staffa sulla piastra porta stepper, allineare i 4 fori sulla staffa con i 4 sulla piastra e utilizzare dadi e bulloni per fissare i due insieme. Quindi, montare la puleggia GT2 sull'albero del motore e fissare i 2 cappucci terminali alla piastra di supporto dello stepper dal basso utilizzando più dadi e bulloni. Una volta fatto, puoi far scorrere i cappucci sui tubi. Nel caso in cui l'adattamento sia troppo corretto invece di forzare i cappucci sui tubi, consiglio di levigare la superficie interna del cappuccio stampato in 3D fino a quando non si adatta perfettamente.

Passaggio 9: assemblaggio del sistema di trasmissione (puleggia folle)

I dadi e i bulloni che stavo usando avevano un diametro di 4 mm anche se i fori sulla puleggia e sui cuscinetti erano 6 mm, motivo per cui ho dovuto stampare in 3D gli adattatori e spingerli nei fori della puleggia e dei cuscinetti in modo che non lo facessero oscillare sul bullone. Se hai dadi e bulloni della giusta dimensione, non avrai bisogno di questo passaggio.

Montare i cuscinetti nel supporto del cuscinetto della puleggia folle. Ancora una volta, se l'accoppiamento è troppo stretto, utilizzare carta vetrata per levigare leggermente la parete interna del supporto del cuscinetto della puleggia folle. Passare un bullone attraverso uno dei cuscinetti, quindi infilare una puleggia sul bullone e chiudere l'altra estremità con il secondo cuscinetto e il set di supporti del cuscinetto della puleggia folle.

Una volta fatto, attaccare la coppia di supporti per cuscinetti della puleggia folle sulla piastra del supporto della puleggia folle e fissare i cappucci terminali alla faccia inferiore di questa piastra, in modo simile al passaggio precedente. Infine tappare l'estremità opposta dei due tubi in PVC utilizzando questi tappi terminali. Con questo le guide per il tuo carrello sono complete.

Passaggio 10: assemblaggio del portale

Il prossimo passo è costruire il carrello. Fissare i due rulli insieme utilizzando la piastra del cavalletto e 4 dadi e bulloni. Le piastre a portale hanno fessure in modo da poter regolare la posizione della piastra per piccole regolazioni.

Quindi, montare i due attacchi per cintura su entrambi i lati della piastra del cavalletto. Assicurati di attaccarli dal basso altrimenti la cintura non sarà allo stesso livello. Assicurati di far passare anche i bulloni dal basso, altrimenti se i bulloni sono troppo lunghi potrebbero causare un'ostruzione per la cintura.

Infine, fissa il supporto del pendolo alla parte anteriore del carrello utilizzando dadi e bulloni.

Passaggio 11: assemblaggio del pendolo

Il pendolo è stato realizzato in due pezzi semplicemente per risparmiare materiale. Puoi incollare i due pezzi allineando i denti e incollandoli. Spingere nuovamente i distanziatori dei fori dei cuscinetti nei due cuscinetti per compensare i diametri dei bulloni più piccoli e quindi spingere i cuscinetti nei fori dei cuscinetti dei due supporti del cuscinetto a pendolo. Fissare le due parti stampate in 3D su ciascun lato dell'estremità inferiore del pendolo e fissare le 3 insieme utilizzando 3 dadi e bulloni che passano attraverso i supporti del cuscinetto del pendolo. Passare un bullone attraverso i due cuscinetti e fissare l'altra estremità con un dado corrispondente.

Quindi, prendi il tuo MPU6050 e fissalo all'estremità opposta del pendolo usando le viti di montaggio.

Passaggio 12: montaggio del pendolo e delle cinghie

Il passo finale è montare il pendolo sul carrello. Fallo passando il bullone che avevi passato in precedenza attraverso i due cuscinetti del pendolo, attraverso il foro sul supporto del pendolo che è attaccato alla parte anteriore del carrello e usa un dado sull'altra estremità per fissare il pendolo sul carrello.

Infine, prendi la cintura GT2 e per prima cosa fissa un'estremità a uno degli attacchi per cintura che è bloccato sul carrello. Per questo, ho usato una clip da cintura stampabile in 3D che si aggancia all'estremità della cintura e impedisce che scivoli attraverso la fessura stretta. Le stls per questo pezzo possono essere trovate su Thingiverse usando questo link. Avvolgere la cinghia intorno alla puleggia passo-passo e alla puleggia folle e fissare l'altra estremità della cinghia al pezzo di fissaggio della cinghia sull'estremità opposta del carrello. Tendete la cinghia assicurandovi di non stringere troppo o di lasciarla troppo allentata e con questo il vostro pendolo e carrello è completo!

Passaggio 13: cablaggio ed elettronica

Il cablaggio consiste nel collegare l'MPU6050 ad Arduino e il cablaggio del sistema di azionamento. Seguire lo schema elettrico allegato sopra per collegare ciascun componente.

MPU6050 ad Arduino:

• GND a GND
• da +5v a +5v
• SDA in A4
• da SCL a A5
• Int a D2

Dal motore passo-passo al driver passo-passo:

• Bobina da 1(a) a 1A
• Bobina da 1(b) a 1B
• Bobina da 2(a) a 2A
• Bobina da 2(b) a 2B

Driver passo-passo per Arduino:

• GND a GND
• VDD a +5v
• PASSO a D3
• DIR a D2
• VMOT al terminale positivo dell'alimentatore
• GND al terminale di terra dell'alimentatore

I pin Sleep e Reset sul driver stepper devono essere collegati con un ponticello. E infine, è una buona idea collegare un condensatore elettrolitico di circa 100 uF in parallelo con i terminali positivo e massa dell'alimentatore.

Passaggio 14: controllo del sistema (controllo proporzionale)

Inizialmente, ho deciso di provare un sistema di controllo proporzionale di base, ovvero la velocità del carrello è semplicemente proporzionale di un certo fattore all'angolo che il pendolo forma con la verticale. Questo doveva essere semplicemente un test per assicurarsi che tutte le parti funzionassero correttamente. Tuttavia, questo sistema proporzionale di base era abbastanza robusto da rendere il pendolo già in equilibrio. Il pendolo poteva anche contrastare in modo abbastanza robusto spinte e spinte delicate. Sebbene questo sistema di controllo funzionasse molto bene, presentava ancora alcuni problemi. Se si dà uno sguardo al grafico delle letture IMU in un certo tempo, si notano chiaramente delle oscillazioni nelle letture del sensore. Ciò implica che ogni volta che il controllore tenta di apportare una correzione, questa è sempre superata di un certo importo, che è, di fatto, la natura stessa di un sistema di controllo proporzionale. Questo piccolo errore può essere corretto implementando un diverso tipo di controller che tenga conto di tutti questi fattori.

In allegato il codice del sistema di controllo proporzionale. Il codice richiede il supporto di alcune librerie aggiuntive che sono la libreria MPU6050, la libreria PID e la libreria AccelStepper. Questi possono essere scaricati utilizzando il gestore di librerie integrato dell'IDE di Arduino. Basta andare su Schizzo >> Includi libreria >> Gestisci librerie, quindi cercare PID, MPU6050 e AccelStepper nella barra di ricerca e installarli semplicemente facendo clic sul pulsante Installa.

Anche se, il mio consiglio per tutti quelli di voi che sono appassionati di scienza e matematica, sarebbe di provare a costruire un controller di questo tipo da zero. Questo non solo rafforzerà i tuoi concetti sulla dinamica e le teorie dei controlli, ma ti darà anche l'opportunità di implementare le tue conoscenze nelle applicazioni della vita reale.

Passaggio 15: controllo del sistema (controllo PID)

Generalmente, nella vita reale, una volta che un sistema di controllo si dimostra sufficientemente robusto per la sua applicazione, gli ingegneri di solito completano il progetto piuttosto che complicare eccessivamente le situazioni utilizzando sistemi di controllo più complessi. Ma nel nostro caso, stiamo costruendo questo pendolo invertito puramente per scopi educativi. Pertanto possiamo provare a passare a sistemi di controllo più complessi come il controllo PID, che potrebbe rivelarsi molto più robusto di un sistema di controllo proporzionale di base.

Sebbene il controllo PID fosse molto più complesso da implementare, una volta implementato correttamente e trovando i parametri di regolazione perfetti, il pendolo si bilanciava significativamente meglio. A questo punto potrebbe anche contrastare gli sbalzi di luce. Le letture dell'IMU in un dato tempo (allegato sopra) dimostrano anche che le letture non vanno mai troppo lontano per il setpoint desiderato, cioè la verticale, dimostrando che questo sistema di controllo è molto più efficace e robusto del controllo proporzionale di base.

Ancora una volta, il mio consiglio per tutti quelli di voi che sono appassionati di scienza e matematica, sarebbe di provare a costruire un controller PID da zero prima di utilizzare il codice allegato di seguito. Questo può essere preso come una sfida, e non si sa mai, qualcuno potrebbe inventare un sistema di controllo molto più robusto di qualsiasi cosa sia stata tentata fino ad ora. Sebbene sia già disponibile una solida libreria PID per Arduino, sviluppata da Brett Beauregard che può essere installata dal gestore della libreria sull'IDE di Arduino.

Nota: ogni sistema di controllo e il suo esito sono illustrati nel video allegato nella primissima fase.

Passaggio 16: ulteriori miglioramenti

Una delle cose che volevo provare era una funzione di "oscillazione", in cui il pendolo è inizialmente sospeso sotto il carrello e il carrello esegue alcuni rapidi movimenti su e giù lungo il binario per far oscillare il pendolo da un'asta sospesa posizione in una posizione capovolta. Ma questo non era fattibile con la configurazione attuale perché un lungo cavo doveva collegare l'unità di misura inerziale all'Arduino, quindi un giro completo fatto dal pendolo potrebbe aver fatto attorcigliare e impigliare il cavo. Questo problema può essere risolto utilizzando un encoder rotativo collegato al perno del pendolo invece di un'unità di misura inerziale sulla punta di esso. Con un encoder, il suo albero è l'unica cosa che gira con il pendolo, mentre il corpo rimane fermo, il che significa che i cavi non si attorcigliano.

Una seconda caratteristica che ho voluto provare è stata quella di bilanciare un doppio pendolo sul carrello. Questo sistema è costituito da due pendoli collegati uno dopo l'altro. Sebbene le dinamiche di tali sistemi siano molto più complesse e richiedano molta più ricerca.

Passaggio 17: risultati finali

Un esperimento come questo può trasformare positivamente l'umore di una classe. Generalmente, la maggior parte delle persone preferisce essere in grado di applicare concetti e idee per cristallizzarli, altrimenti le idee rimangono "nell'aria", il che fa sì che le persone tendano a dimenticarle più rapidamente. Questo è stato solo un esempio dell'applicazione di alcuni concetti appresi durante le lezioni in un'applicazione del mondo reale, anche se questo susciterà sicuramente entusiasmo negli studenti per provare a creare i propri esperimenti per testare le teorie, il che renderà le loro lezioni future molto più vivace, che li farà desiderare di saperne di più, che li farà inventare nuovi esperimenti e questo ciclo positivo continuerà fino a quando le aule future non saranno piene di esperimenti e progetti così divertenti e divertenti.

Spero che questo sia l'inizio di molti altri esperimenti e progetti! Se ti è piaciuto questo tutorial e lo hai trovato utile, lascia un voto qui sotto nel "Concorso di scienze in classe" e qualsiasi commento o suggerimento è il benvenuto! Grazie!:)

Secondo classificato al concorso di scienze in classe